Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne - wyrażenia, w których obok liczb i znaków występują także litery. Służą do przedstawienia ogólnych wzorów, zwrotów, twierdzeń oraz równań i nierówności.

Przykłady wyrażeń algebraicznych:
  • k-8 -> liczba o 8 mniejsza od k
  • kl -> iloczyn liczby k i l
  • j+k -> suma liczby j i k
  • $${(a-b)}^2$$ -> kwadrat różnicy liczb a i b
 

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

 

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter powstawiać odpowiednie liczby.

Przykład:

Obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego $$ 2y+3y^2-10 $$ dla $$ y=2$$.

$$ 2y+3y^2-10=2×2+3×2^2-10=4+3×4-10=4+12-10=16-10=6 $$
 

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

 

W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przykłady jednomianów:

$$-7b$$, $$4bk$$, $$10z$$, $$5t^2$$

W jednomianach składających się z iloczynu liczby i litery, liczba ta nosi nazwę współczynnik liczbowy.


Przykłady:
  • $$13k^3$$ -> współczynnik liczbowy: 13
  • $$ -4xyz $$-> współczynnik liczbowy: (-4)

W celu przedstawienia wyrażenia algebraicznego w sposób bardziej przejrzysty należy go uporządkować czyli doprowadzić je do najprostszej postaci. Pamiętaj aby w iloczynie najpierw stała liczba a następnie litera lub litery w kolejności alfabetycznej!

Przykłady:
  • $$1/4×16x×x-3+4$$ -> po uporządkowaniu: $$4x×x+1=4x^2+1 $$
  • $$ (-15k)×(-3p) $$ -> po uporządkowaniu: $$(-15)×(-3)×k×p=45kp $$

Sumy algebraiczne

 

Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną. Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazy sumy lub wielomiany.

Przykłady sum algebraicznych:

  • $$8k+5l-10q$$
  • $$67r+(-9p)-3$$
 

Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami w których różni się tylko współczynnik liczbowy wówczas mówimy że jednomiany są podobne. Dodawanie i odejmowanie tych jednomianów nazywamy redukcją wyrazów podobnych.

Przykłady jednomianów podobnych:

  • $$4xy^2$$ i $$16y^2 x$$
  • $$14nm$$ i $$(-14)nm$$
  • $$3k$$ i $$8k$$

Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • $$4xy-9xy=(-5)xy$$
  • $$8y^2+19y^2=27y^2$$

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

 

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak pozbywanie się nawiasu z sum algebraicznych i porządkowanie tego jednego długiego wyrażenia algebraicznego.

Przykłady:

  • $$(x-y)+(4x-2y)=x-y+4x-2y=5x-3y$$
  • $$7k-9m+(11m-4k)=7k-9m+11m-4k=3k+2m$$

Jedyną zasadą którą trzeba zapamiętać jest zmiana znaków w nawiasie gdy tuz przed nim znajduje się minus!

Przykład:

  • $$9l-10k-(11l+7k-11t)=9l-10k-11l-7k+11t=-2l-17k+11t$$

Mnożenie jednomianu przez sumy algebraiczne

 

Mnożenie jednomianu przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy oddzielny wyraz sumy.

Przykłady:
  • $$9a(4c+9b)=(9a×4c)+(9a×9b)=36ac+81ab$$
  • $$(a-bc)5xy=(a×5xy)-(bc×5xy)=5axy-5bcxy$$

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

 

Mnożenie jednomianów i sum algebraicznych prowadziło do powstania jednej długiej sumy algebraicznej. Czasami jednak warto wykonać odwrotną operację czyli zamienienie długiej sumy algebraicznej na iloczyn jednomianu i krótszej sumy algebraicznej. Taką operację nazywamy wyłączaniem czynnika przed nawias. Jak to zrobić?

 
  1. Z pośród sumy algebraicznej wybierz jednomiany które mają przynajmniej jeden jednakowy element (litery lub liczby).

    Przykład:

    $$8xy$$, $$9k$$, $$17x$$, $$3$$, $$7p$$ -> jednomiany które nas interesują: $$8xy$$, $$17x$$ .
  2. Znajdź powtarzający się element.

    Przykład:

    $$8xy$$, $$17x$$ -> elementy powtarzające się: $$x$$.
  3. Wyciągnij powtarzający się element przed nawias tak by po pomnożeniu wychodziła ta sama suma algebraiczna.

    Przykład:

    $$8xy+17x$$ -> wyłączenie czynnika przed nawias: $$x(8y+17)$$.

Przykłady:

  • $$ 9x-3y+18k=3(3x-y+6k) $$
  • $$ 5kl+10xk-20qk=5k(l+2x-4q) $$
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Michał ma n lat. Dwie siostry Michała są od niego młodsze: Ania o 3 lata, a Beata o 5 lat. Tata Michała jest od niego starszy o 30 lat, a mama o 28. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych wiek sióstr i rodziców.

Ania: n+3

Beata: n+5

Tata: n+30

Mama: n+28
 

Zadanie 2.

Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla $$x=3$$.

  1. $$ 2x+5 $$
  2. $$ 2(x+5) $$
  3. $$ x(2+5) $$
  1. $$ 2x+5=2×3+5=6+5=11 $$
  2. $$ 2(x+5)=2(3+5)=2×8=16 $$
  3. $$ x(2+5)=3(2+5)=3×7=21 $$

Zadanie 3.

Uporządkuj jednomiany:

  1. baba
  2. baca
  3. lelek
  4. jajo
  1. $$ a^2 b^2 $$
  2. $$ a^2 bc $$
  3. $$ e^2 kl^2 $$
  4. $$ aj^2 o $$

Zadanie 4.

Marcin ma x złotych, Jacek o 5 złotych więcej, a Olek trzy razy więcej niż Marcin. Ile pieniędzy mają w sumie?

Marcin -> $$x$$ zł

Jacek -> $$x+5$$ zł

Olek -> $$3x$$ zł

$$ x+(x+5)+3x=x+x+5+3x=5x+5$$ zł

Odp.: W sumie chłopcy mają $$5x+5$$ zł.

Zadanie 5.

Przekształć do postaci sumy algebraicznej wyrażenie:

  1. $$ 2(a+b) $$
  2. $$ 3(x+2y-6) $$
  3. $$ -2(x+4-y+z) $$
  1. $$ 2(a+b)=2a+2b $$
  2. $$ 3(x+2y-6)=3x+6y-18 $$
  3. $$ -2(x+4-y+z)=-2x-8+2y-2z$$

Zadanie 6.

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

  1. $$ 5a+10b-15c $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2 $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm $$
  1. $$ 5a+10b-15c=5(a+2b-3c) $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2=x(12+5y+8x) $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm=-3k(1+2k+6lm) $$

Komentarze