Wektory

Współrzędne wektora


Mając dane współrzędne końców wektora możemy wyznaczyć jego współrzędne: opisują one po prostu koniec wektora przy założeniu, że jego początek jest zaczepiony w punkcie $$(0,0)$$.

Jeśli początek leży w punkcie $$A = (x_p,y_p)$$, a koniec to punkt $$B = (x_k, y_k)$$, to współrzędne wektora wyznacza wzór:

$${AB}↖{→} = [x_p-x_k, y_p-y_k]$$
 

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wektorów przez liczbę



Dodawanie wektorów można interpretować geometrycznie na równoważne sobie sposoby:

1) W końcu jednego wektora zaczepiamy drugi - ich suma jest wtedy wektorem prowadzącym od początku pierwszego do końca drugiego.

1 dodawanie

2) Jeśli oba wektory są zaczepione w tym samym punkcie, ich suma to przekątna równoległoboku utworzonego przez nie (rysunek).

2 dodawanie

Jeśli mamy natomiast dodać je analitycznie, wystarczy po prostu dodać ich odpowiednie współrzędne. Zakładając, ze $${v}↖{→} = [v_a, v_b]$$, a $${u}↖{→} = [u_a, u_b]$$, współrzędne wektora będącego ich sumą: $${t}↖{→} = {v}↖{→} + {u}↖{→} $$ są równe $${t}↖{→} = [u_a + v_a,u_b + v_b]$$.

Odejmowanie wektora to po prostu dodawanie wektora o przeciwnym zwrocie:

mając różnicę $${t}↖{→} = {v}↖{→} - {u}↖{→} $$ możemy ją zapisać jako $${t}↖{→} = {v}↖{→} + (-{u}↖{→}) $$. Wektor $$(-{u}↖{→})$$ to po prostu wektor $${u}↖{→}$$ przeciwnie skierowany (przed obiema współrzędnymi dostawiamy minus).

Mnożenie wektora $${v}↖{→}$$ przez liczbę $$a$$ to w ujęciu geometrycznym dodanie do siebie $$a$$ razy wektora $${v}↖{→}$$, zaś w ujęciu analitycznym - pomnożenie przez liczbę $$a$$ obu jego współrzędnych.
3 mnożenie

Rozkładanie wektorów



Każdy wektor można rozłożyć na sumę kilku wektorów. Najczęściej, chociaż nie zawsze, opłaca się brać pod uwagę sumę wektorów równoległych do osi współrzędnych. W ujęciu geometrycznym są to boki prostokąta, którego przekątną jest wektor; w ujęciu analitycznym: wektory o współrzędnych $${v_x}↖{→} = [a, 0]$$ i $${v_y}↖{→} = [0, b]$$ jeśli wektor $${v}↖{→} = [a, b]$$.

4 rozkładanie
 

Wektory jako przesunięcie wykresu



Wektor jest często używany jako wielkość opisująca przesunięcie. Można mówić o przesunięciu dowolnego obiektu leżącego w przestrzeni: na przykład wykresu funkcji.

5 przesuniecie wykresu

Widać, że przesunięcie wykresu nie zależy od tego, w którym miejscu zaczepimy wektor. Jak opisać takie przesunięcie?

Załóżmy, że mamy funkcję $$y = f(x)$$ i chcemy jej wykres przesunąć o wektor $${v}↖{→} = [a,b]$$. Aby to zrobić, rozłóżmy $${v}↖{→}$$ na wektory składowe równoległe do osi i przesuńmy wykres przez każdy z nich oddzielnie (suma przesunięć będzie się równała przesunięciu przez wektor sumy).

Przesuwając wykres w pionie zmieniamy tak naprawdę jedynie wyraz wolny: jeśli na przykład $${v_y}↖{→} = [0, b]$$, to nowa funkcja $$f_2(x)$$ będzie równa $$f_2(x) = f(x) + b$$.

Zastanówmy się więc, co tak naprawdę robimy przesuwając wykres w poziomie - załóżmy, że w prawo, czyli o wektor $${v_x}↖{→} = [a, 0]$$ gdzie $$a$$ > $$0$$. Każdemu $$x$$-owi przyporządkowujemy wtedy wartość $$x$$-a leżącego o $$a$$ bliżej, np. punkt $$x=3$$ dostał wartość punktu $$x=3-a$$. Nowa funkcja będzie więc miała postać $$f_2(x) = f(x-a)$$.

Łącząc te dwie zmiany dowiadujemy się, że funkcja $$y = f(x)$$ przesunięta o wektor $${v}↖{→} = [a,b]$$ będzie miała postać $$y = f(x-a)+b$$.

Komentarze