Równania wielomianowe

Wielomiany to wyrażenia o dowolnym stopniu, zatem możemy tutaj spotkać wyrazy podobne do $$x^5$$, $$x^4$$ itp.

Każdy wielomian można przyrównać do zera (bądź do innego wielomianu, wtedy przez redukcję wyrazów podobnych zawsze można dojść do postaci $$ ext"jakiś wielomian"=0$$) - powstaje wtedy równanie.

Typowe równania maturalne prowadzą do prostych rozwiązań i zazwyczaj wymagana jest tylko umiejętność wyciągania przed nawias, ewentualnie rozwiązywania równań kwadratowych.

Równania wielomianowe można rozwiązać na trzy sposoby, z czego jeden zostanie opisany w tematyce rozszerzonej. Tutaj omówimy dwa sposoby:

- Znalezienie części wspólnej, jeśli występuje wyraz wolny

- Wyciągnięcie najniższej potęgi x przed nawias, jeśli wyraz wolny nie występuje

Na początek zajmijmy się brakiem wyrazu wolnego

Przykład:

Rozwiąż równanie $$x^3+2x^2-x=0$$.

Nie ma wyrazu bez x, więc wyciągamy x przed nawias:

$$x(x^2+2x-1)=0$$

Jak widać mamy teraz dwa czynniki:

x oraz $$(x^2+2x-1)$$

Aby równanie było spełnione, co najmniej jeden z czynników musi wynosić 0. Pierwszy składnik, x, wynosi 0 tylko gdy $$x=0$$, co jest pierwszym z rozwiązań. Zostawiamy pierwszy czynnik w spokoju, jako drugi czynnik mamy tutaj nic innego jak równanie kwadratowe.

Chcemy sprawdzić, kiedy drugi czynnik jest równy zero, liczymy więc standardową procedurą:

$$x^2+2x-1=0$$

$$a=1$$

$$b=2$$

$$c=-1$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=2^2-4×1×(-1)$$

$$∆=4+4$$

$$∆=8$$


Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{8}=2√{2}$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={-2+2√{2} }/2=-1+√{2} $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

$$x_2={-2-2√{2} }/2=-1-√{2} $$

Teraz podstawowa zasada: wynik mnożenia jest równy 0 jeśli jeden z czynników to 0. Zatem rozwiązania to

$$x_1=0$$, $$x_2=-1-√2$$, $$x_3=-1+√2$$


Teraz sposób drugi, kiedy mamy wyraz wolny.

Przykład:
Rozwiąż równanie:
$$x^3+5x^2-2x-10=0$$

Praktycznie zawsze pomaga zmiana kolejności wyrazów (nieobowiązkowa, ale wtedy lepiej widać)

$$x^3-2x+5x^2-10=0$$

Musimy teraz z dwóch pierwszych i dwóch ostatnich wyrazów wyciągnąć coś przed nawias w taki sposób, aby w nawiasach zostało to samo.
W pierwszej parze nie ma za bardzo co wyciągać, poza x:

$$x(x^2-2)+5x^2-10=0$$

Następnie druga para. Możemy wyciągnąć tylko największy wspólny dzielnik czyli 5:

$$x(x^2-2)+5(x^2-2)=0$$

Jak widać mamy w nawiasach to samo, więc znowu to wyciągamy, czyli łączymy to co jest poza nawiasem:

$$(x+5)(x^2-2)=0$$

No i teraz standardowa formułka, mnożenie jest 0 jeśli któryś z czynników to 0, zatem:

$$x+5=0$$ v $$x^2-2=0$$

Pozostaje nam znaleźć x:
$$x=-5$$ v $$x^2=2$$

Pamiętamy, że równanie na $$x^2$$ zawsze daje dwa rozwiązania:
$$x=-5$$ v $$x=√2$$ v $$x=-√2$$

 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $$x^3-x^2+5x=0$$

Standardowo wyciągamy x przed nawias, ponieważ nie ma tu wyrazu wolnego:

$$x(x^2-x+5)=0$$

Mamy równanie kwadratowe oraz x, zajmijmy się najpierw równaniem:

$$x^2-x+5=0$$

$$a=1$$

$$b=-1$$

$$c=5$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-1)^2-4×1×5$$

$$∆=1-20$$

$$∆=-19$$

Delta nam wyszła ujemna, zatem tu nie ma rozwiązania. Pozostała nam tylko część pierwsza czyli x. Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest $$x=0$$.  

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie $$x^3-6x^2-9x+54=0$$.

Zacznijmy znów od małej zamiany

$$x^3-9x-6x^2+54=0 $$

Teraz wyciągamy co się da

$$x(x^2-9)-6(x^2-9)=0 $$

Jak widać znów bez problemu udało się nam uzyskać te same wartości. Wyciągamy nawias, czyli łączymy to, co poza nawiasem

$$(x^2-9)(x-6)=0$$

Sprawdzamy kiedy to jest zero

$$x^2-9=0$$ v $$x-6=0$$

Więc ze wzoru skróconego mnożenia

$$(x+3)(x-3)=0$$ v $$x=6$$

$$x+3=0$$ v $$x-3=0$$ v $$x=6$$

Pozostaje dodać albo odjąć stronami 3 i już można podać wynik

$$x=-3$$ v $$x=3$$ v $$x=6$$
 

Komentarze