Równania

Równania - wstęp

Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera literę, połączone znakiem równości tworzą równanie.

Litera występująca w równaniu to niewiadoma.

Wyrażenie występujące po lewej stronie znaku równości to lewa strona równania, a wyrażenie występujące po prawej stronie to prawa strona równania.

lewa i prawa strona równania

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, przy czym w równaniu tym występuje tylko jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą:

  • $$7x − 11 = 17$$
  • $$8y = 16$$
  • $$3x + 7 = 10 + 2x$$

Rozwiązanie równania z jedną niewiadomą – to liczba, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej spełnia to równanie (czyli po podstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej, lewa strona równania będzie się równać prawej stronie).

Przykład 1.

Sprawdźmy czy liczba 2 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.
Podstawiamy liczbę 2 w miejsce niewiadomej x.

  • I sposób
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•2+ 7 = 6 + 7 = 13$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•2= 10 + 4 = 14$$
    $$13≠14$$, czyli $$L≠P$$

    czyli liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

  • II sposób
    Podstawiamy 2 w miejsce x i sprawdzamy czy otrzymamy równość prawdziwą:

    $$3•2+7=10 + 2•2$$
    $$6 + 7 = 10 + 4$$
    $$13 = 14$$ ← otrzymaliśmy równość fałszywą

    zatem liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

Przykład 2.

Sprawdźmy czy liczba 3 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.

  • Podstawiamy liczbę 3 w miejsce niewiadomej x.
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•3+ 7 = 9 + 7 = 16$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•3= 10 + 6 = 16$$
    $$L = P$$

    Zatem liczba 3 spełnia dane równanie, zatem jest jego rozwiązaniem.

Rozwiązywanie równań

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które je spełniają.

Rozwiązując równanie dążymy do tego, aby po jednej stronie równania znalazły się tylko niewiadome, a po drugiej tylko liczby.

Reguły postępowania przy rozwiązywaniu równań

  1. Do obu stron równania można dodać takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $$x−4=6$$ → aby przenieść (-4) na prawą stronę, musimy do obu stron dodać 4
    $$x=6+4$$
    $$x=10$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 10.
     
  2. Od obu stron równania można odjąć takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $$x + 9 = 12$$ → aby przenieść 9 na prawą stronę, musimy odjąć od obu stron 9
    $$x = 12 − 9$$
    $$x = 3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.
     
  3. Obie strony równania można pomnożyć przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $$x/5= 10$$
    $$1/5 x= 10$$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy pomnożyć obie strony przez 5.
    $$x = 5•10$$
    $$x = 50$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 50.
     
  4. Obie strony równania można podzielić przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $$5×x = 15$$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy podzielić obie strony przez 5
    $$x = 15÷5$$
    $$x = 3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.

Rodzaje równań

Ze względu na ilość rozwiązań równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą dzielimy na:

  • Równanie oznaczone – równanie, które ma jedno rozwiązanie.
    Przykład:

    $$x+9=12$$ $$|-9$$
    $$x=12−9$$
    $$x=3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3
     
  • Równanie nieoznaczone (równanie tożsamościowe) – równanie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań.
    Przykład:

    $$x + 2 = x + 2$$ $$|- x$$
    $$2 = 2$$ $$|-2$$
    $$0 = 0$$
     
  • Równanie sprzeczne – równanie, które nie ma rozwiązań
    Przykład:

    $$x+2=x+3$$ $$|-x$$
    $$2=3$$
    $$2≠3$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz podane zdania w formie równania:

  1. suma liczby a i 5 jest równa 45
  2. iloczyn liczby b i 7 jest równy 21
  3. połowa liczby y jest równa 11
  1. $$a+5=45$$
  2. $$b×7=21$$
  3. $$1/2 y=11$$

Zadanie 2.

Podaj liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 2y-3=15 $$
  2. $$ x+5=14 $$
  3. $$ 3y=12 $$
  1. $$ 2y-3=15 $$

    $$ 2y=18 $$

    $$ y=9 $$
  2. $$ x+5=14$$

    $$x=9$$
  3. $$3y=12$$ $$|÷3$$

    $$ y=4 $$

Zadanie 3.

Suma dwóch liczb jest równa 51. Jakie to liczby, jeżeli jedna z nich jest dwa razy większa od drugiej.

$$x$$ -> jedna liczba

$$2x$$ -> druga liczba

$$2x+x=51$$

$$3x=51$$

$$x=17$$ -> $$2x=34$$

Odp.: Jedna z tych liczb to 17, a druga to 34.

Zadanie 4.

Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równa 69. Jakie to liczby?

$$2x+1$$ -> liczba nieparzysta

$$2x+1$$, $$2x+3$$, $$2x+5$$ -> kolejne liczby nieparzyste

$$2x+1+2x+3+2x+5=69$$

$$6x+9=69$$ $$|-9$$

$$6x=60$$ $$| ÷6$$

$$x=10$$ -> $$2x+1=21,2x+3=23,2x+5=25$$

Odp.: Te liczby to 21, 23 i 25.

Zadanie 5.

Oblicz miary kątów trójkąta, w którym jeden jest o $$6°$$ większy od drugiego i o $$6°$$ mniejszy od trzeciego.

$$x$$ -> pierwszy kąt

$$x-6$$° -> drugi kąt

$$x+6°$$ -> trzeci kąt

$$x+(x-6°)+(x+6°)=180°$$

$$3x=180°$$ $$|÷3$$

$$x=60°$$ -> $$x-6°=54°,x+6°=66°$$

Odp.: Kąty w tym trójkącie mają miary $$60°$$, $$66°$$, $$54°$$.

Zadanie 6.

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 84 cm. Jaką długość ma jedna krawędź?

czworoscian

6 -> ilość wszystkich krawędzi w czworościanie foremnym

x -> długość jednej krawędzi

$$ 6x=84 cm $$ $$|÷6$$

$$ x=14 cm $$

Odp.: Jedna krawędź tego czworościanu ma długość $$ 14 cm $$.

Komentarze