Prawdopodobieństwo

Rachunek prawdopodobieństwa jest rozwinięciem kombinatoryki, a dla nas tylko i wyłącznie odpowiednim jej użyciem. Wcześniej liczyliśmy wszystkie możliwe sytuacje, tutaj też będziemy je liczyć, ale oprócz tego wybierzemy z nich te, które spełniają jakiś warunek.

Wcześniej:
Policz na ile sposobów można rzucić jedną kostką do gry: na 6

Teraz:
Na ile sposobów można wyrzucić czwórkę kostką do gry? Na 1!
Zatem jaka jest szansa, że wyrzucisz akurat czwórkę kostką do gry? $$1/6$$
W liczniku mamy sytuacje, które spełniają warunek, a w mianowniku wszystkie możliwe sytuacje.

Musimy tu jednak stosować pewne oznaczenia:
$$Ω$$ – Tym symbolem będziemy oznaczać wszystkie zdarzenia
(np. wyrzucenie czegokolwiek kostką)
$$A$$ – Tak oznaczamy możliwości, które spełniają warunek
(np. wyrzucenie czwórki)
Wzór na prawdopodobieństwo:
$$P(A)={|A|}/{|Ω|}$$
Gdzie symbol $$|A|$$ oznacza liczbę tych sytuacji, które spełniają warunek, a $$|Ω|$$ liczbę wszystkich sytuacji.

Przykład:
Jakie jest prawdopodobieństwo wybrania ze wszystkich cyfr cyfry podzielnej przez 3?
Mamy zbiór cyfr od 0 do 9. Jest ich w sumie 10, więc:
$$|Ω|=10$$
Z kolei podzielnych przez 3 tu będą: 3,6,9, zatem:
$$|A|=3$$
Liczymy więc
$$P(A)={3}/{10}$$

Pokażmy jeszcze co nieco na innym przykładzie. Przykład 2.:
Na loterii można było wygrać telewizor lub 10zł. 10zł wygrywał co dziesiąty los. Oblicz ile było wszystkich losów na loterii skoro szansa na trafienie 10zł wynosiła $${1}/{15}$$.
Skoro wygrywał co dziesiąty los, a szansa na taki to 1 na 15 losów, to wszystkich losów było:
$$15×10=150$$

 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

W kinie siedzi obok siebie trzech mężczyzn w czarnych garniturach, jedna kobieta i jeden mężczyzna w białym garniturze. Jaka jest szansa, że kobieta będzie siedzieć koło mężczyzny w białym garniturze?

Liczy się kolejność. Więc układamy podobnymi sposobami jak w kolejce, czyli:
Osoba - Liczba sposobów
I – 5
II – 4
III – 3
IV – 2
V – 1
Zatem z reguły mnożenia: $$5×4×3×2×1=120$$
Mamy nasze:

$$|Ω|=120$$
Teraz musimy zbadać w jakich sytuacjach będą siedzieć obok siebie. Rozpiszmy to delikatnie:
b - biały garnitur
c - czarny garnitur
k- kobieta

Oczywiście następuje rotacja na 3×2×1=6 sposobów pomiędzy czarnymi Panami :) (c1, c2 i c3 mogą bezkarnie zmieniać kolejność)
Poza tym para b,k może zajmować pierwsze i drugie miejsce, drugie i trzecie, trzecie i czwarte, czwarte i piąte - łącznie 4 możliwości:
b,k,c1,c2,c3
C1,b,k,c2,c3
C1,c2,b,k,c3
C1,c2,c3,b,k

Więc wychodzi nam $$6×4=24$$ sposoby
Jednakże kobieta może się z mężczyzną zamienić miejscami i nadal siedzieć obok siebie, więc:
$$24×2=48$$
Czyli $$A=48$$
Więc:
$$P(A)={|A|}/{|Ω|} ={48}/{120}=8/{20}=4/{10}$$

Dla tych, którzy nie są jeszcze zmęczeni usadzaniem 5 ludzi w kinie, inny sposób: czy czarni panowie grają tu jakąkolwiek rolę? Nie, równie dobrze mogą to być puste krzesła (p)! Dlatego w tym drugim sposobie usadzamy po prostu panią i białego pana, na $$5×4=20=$$|Ω|$$ sposobów. Ile z tych sposobów jest korzystnych? Gdy pani siedzi na skrajnym miejscu, jest tylko po 1 sposobie, aby pan siedział koło niej:
k,b,p,p,p
p,p,p,b,k
Gdy kobieta usiądzie w którymś z 3 "środkowych" krzeseł, biały pan może usiąść albo z jej lewej, albo z jej prawej strony. Czyli z reguły mnożenia $$3×2=6$$ możliwości dla środkowych rzędów. Kobieta może usiąść albo w środkowym, albo skrajnym krześle, ale nie na obu naraz, więc z reguły dodawania $$|A|=2+6=8$$. Ostatecznie $$P(A)={|A|}/{|Ω|} =8/20=4/10$$. Uff, wyszło to samo!

Zadanie 2.

Jaka jest szansa, że wyrzucimy dwiema kostkami sumę oczek równą 7?

Znów tutaj badamy najpierw wszystkie możliwe sytuacje.
Na jednej kostce 6 możliwości, na drugiej też, z reguły mnożenia.
$$6×6=36$$ sposobów, więc $$|Ω|=36$$
Suma oczek równa jest 7 gdy rzucimy:
$$1,6$$
$$2,5$$
$$3,4$$
$$4,3$$
$$5,2$$
$$6,1$$
Zatem $$|A|=6$$
Więc:
$$P(A)={|A|}/{|Ω|}={6}/{36}={1}/{6}$$

Hola hola, ktoś może powiedzieć: ale co to za różnica, czy wyrzucę 1 i 2, czy 2 i 1? Powinienem podzielić $$|Ω|$$ przez liczbę możliwych kolejności dwóch kostek, czyli przez $$2×1=2$$. Ale gdy nie interesuje nas kolejność kostek, możliwości też jest mniej:
$$1,6$$ (to samo co $$6,1$$)
$$2,5$$ (to samo co $$5,2$$)
$$3,4$$ (to samo co $$4,3$$)
Zatem "nie rozróżniając" kostek mam $$|Ω|=36/2=18$$, $$|A|=6/2=3$$. Wtedy $$P(A)={|A|}/{|Ω|}={3}/{18}={1}/{6}$$
Wyszło to samo (i powinno)! Częstym błędem jest liczenie $$|A|$$ w jeden sposób, a $$|Ω|$$ w inny. Dlatego pamiętaj, aby wybrać jeden sposób liczenia (kostki rozróżnialne albo nierozróżnialne), a potem się go trzymaj.
 

Komentarze