Liczby całkowite

Liczby dodatnie i ujemne

  Przypomnienie

Oś liczbowa to prosta, na której każdemu punktowi jest przypisana dana wartość liczbowa, zwana jego współrzędną.

Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,..
Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznaczamy symbolem N.
Możemy zapisać: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...}

 

Liczby dodatnie są to liczby większe od zera, czyli na osi liczbowej leżą po prawej stronie zera.
Liczby dodatnie zapisujemy ze znakiem + (plus), np. +2, +5 lub bez znaku, np. 2, 5.
Czym liczba dodatnia leży bliżej zera, tym jest mniejsza, np. 1 < 5.

 

Liczby ujemne są to liczby mniejsze od zera, czyli na osi liczbowej leżą po lewej stronie zera.
Liczby ujemne zapisujemy ze znakiem – (minus), np. -2, -7.
Czym liczba ujemna jest bliżej zera, tym jest większa, np. −44 < −5.

 

Liczby całkowite to liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne.
Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy symbolem C.
Możemy zapisać: C = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}

  Uwaga

Każda liczba dodatnia jest większa od każdej liczby ujemnej, np. 5 > -5, 7 > -92.
Zero jest większe od każdej liczby ujemnej, np. 0 > -8, 0 > -1743.
Zero nie jest ani liczbą dodatnią, ani ujemną.

Liczby przeciwne są to takie dwie liczby, których suma wynosi 0.

Przykłady:

  • Liczbą przeciwną do 4 jest -4.
  • Liczbą przeciwną do -25 jest 25.
  • Liczbą przeciwną do 0 jest 0.
przeciwne

  Ciekawostka

W starożytności ani rachmistrze babilońscy czy egipscy, ani greccy myśliciele oraz Arabowie nie mieli ogólnej idei liczb ujemnych. Pierwszymi, którzy stosowali liczby ujemne, byli matematycy indyjscy. W VI i VII w. n. e. używali ich dla potrzeb rachunkowych, mianowicie długi zapisywano jako wartości ujemne. Na zachodzie liczby ujemne pojawiły się dopiero w XV wieku jako osobne byty numeryczne, którym jednak odmawiano istnienia w postaci liczb. Otrzymały nazwę numeri absurdi i nie były uważane za możliwe rozwiązanie równania. Dopiero w XVII wieku angielski matematyk John Wallis zastosował współrzędne ujemne do punktów krzywej.

Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględna dowolnej liczby (moduł liczby) jest dodatnia lub równa zero. Wartość bezwzględna usuwa minus liczbie ujemnej, natomiast liczbę dodatnią i zero pozostawia bez zmian.

Wartość bezwzględną liczy a oznaczamy |a|.

  Ciekawostka

Zapis wartości bezwzględnej wprowadził w 1841 r. niemiecki matematyk Karl Weierstrass w swoim eseju Zur Theorie der Potenzreihen.

Przykłady:

  • $$|3|=3$$
  • $$|−5|=5$$
  • $$|0| = 0$$

Wartość bezwzględna jest zawsze dodatnia lub równa zero.

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej.

wartosc-bezwzgledna

Wartość bezwzględna liczby to odległość tej liczby na osi liczbowej od zera, czyli długość odcinka, którego końce to dana liczba i 0
  • $$|3| = 3$$
  • $$|-2| = 2$$

Dodawanie liczb całkowitych

  1. Dodawanie dwóch liczb dodatnich – suma jest liczbą dodatnią

    Przykład: $$24 + 37 = 61$$

  2. Dodawanie dwóch liczb ujemnych – suma jest liczbą ujemną (dodajemy liczby pomijając znaki minus, zapisujemy wynik, dopisując znak „-”).

    Przykład: $$(-24) + (-37) = (-61)$$

  3. Dodawanie dwóch liczb, z których jedna jest dodatnia, a druga ujemna – suma ma znak tego składnika, który na osi liczbowej znajduje się dalej od zera.

    Jeżeli do liczby dodatniej dodajemy liczbę ujemną, to tak naprawdę od liczby dodatniej odejmujemy liczbę przeciwną do danej liczby ujemnej.

    Przykłady:

    • $$3 + (−4) = 3 − 4 = −1$$
    • $$(−3) + 7 = 7 + (−3) = 7 − 3 = 4$$
    • $$(−8) + 10 = 10 + (−8) = 10 − 8 = 2$$
  4. Dodawanie dwóch liczb przeciwnych – suma jest równa 0.

    Przykład: $$(-5) + 5 = 0$$

Odejmowanie liczb całkowitych

Każde odejmowanie liczb całkowitych można zastąpić odpowiednim dodawaniem.

Przykłady:

  • $$3 − (−9) = 3 + 9 = 12$$
  • $$(−4) − 5 = (-4) + (-5) = −9$$
  • $$(−8) − (−11) = (−8) + 11 = 11 + (−8) = 11 − 8 = 3$$

Mnożenie liczb całkowitych

  • Iloczyn liczb o takich samych znakach (czyli iloczyn dwóch liczb dodatnich lub dwóch liczb ujemnych) jest liczbą dodatnią.

    Przykład:

    $$(−4)•(−2) = 4•2 = 8$$
    $$4•2 = 8$$
     
  • Iloczyn liczb o różnych znakach (czyli iloczyn liczb, z których jedna jest dodatnia, a druga ujemna) jest liczbą ujemną.

    Przykład:

    $$5•(−3) = −( 5•3 ) = (−15) = −15$$
     
  • Iloczyn dowolnej liczby n oraz liczby -1 jest zawsze liczbą przeciwną do n.

    Przykład:

    • $$5•(−1) = −5$$
    • $$−5•(−1) = 5$$
       
  • Iloczyn dowolnej liczby n oraz 0 jest zawsze równy 0.

    Przykład:

    • $$5 • 0 = 0$$
    • $$−5 • 0 = 0$$
 

Jeżeli w iloczynie jest parzysta ilość znaków „-” to wynik jest dodatni.

Przykład:

$$(-1) • (-1) • (-1) • (-1) = 1$$
 

Jeżeli w iloczynie jest nieparzysta ilość znaków „-” to wynik jest ujemny.

Przykład:

$$(-1) • (-1) • (-1) = -1$$

Dzielenie liczb całkowitych

Dzieląc liczby całkowite należy pamiętać, że:

  1. Iloraz dwóch liczb o jednakowych znakach jest liczbą dodatnią,
  2. Iloraz dwóch liczb o przeciwnych znakach jest liczbą ujemną.

Przykłady:

  • $$(−20) ÷ (−5) = 4$$
  • $$15 ÷ (−3) = (−5) = −5$$
  • $$4 ÷ (−1) = (−4) = −4$$

Reguły odnoszące się do znaków + i -

  • $$(+a) = +a = a$$
  • $$-(-a) = +a = a$$
  • $$-(+a) = -a$$
  • $$+(-a) = -a$$
  • $$(+a)•(+b)=+(a•b)=a•b$$
  • $$(-a)•(-b)=+(a•b)=a•b$$
  • $$(-a)•(+b)=-a•b$$
  • $$(+a)•(-b)=-a•b$$

Ogólnie:

  • znak „+” nie zmienia wartości wyrażenia
  • parzysta ilość znaków „-” daje „+”
  • nieparzysta ilość znaków „-” daje „-”

Potęgowanie liczb całkowitych

Iloczyn jednakowych czynników można przedstawić w postaci potęgi.

potegowanie1

Symbol $$a^n$$ oznacza n-krotne mnożenie liczby a przez siebie; czyta się go a podniesione do n-tej potęgi, a do n-tej potęgi, a do potęgi n-tej.

potegowanie2
 

Przykłady:

  • $$3•3= 3^2$$ ← czytamy: 3 do potęgi drugiej lub druga potęga liczby 3,
  • $$5•5•5= 5^3$$ ← czytamy: 5 do potęgi trzeciej lub trzecia potęga liczby 5,
  • $$(-1)•(-1)•(-1)•(-1)= (-1)^4$$ ← czytamy: -1 do potęgi czwartej lub czwarta potęga liczby -1.


Dowolna liczba podniesiona do potęgi pierwszej to ta sama liczba → $$a^1 = a$$,

Zerowa potęga dowolnej liczby jest zawsze liczbą 1 → $$a^0 = 1$$.

  Uwaga

Zero podniesione do zerowej potęgi jest nieokreślone (jest niewykonalne).

Przykłady:

  • $$5^0 = 1$$
  • $$(-8)^0 = 1$$
  • $$0^2 = 0$$
  • $$(-12)^1 = -12$$

Drugą potęgę liczby a nazywamy także kwadratem liczby a i zapisujemy $$a^2$$

Trzecią potęgę liczby a nazywamy także sześcianem liczby a i zapisujemy $$a^3$$
 

  • Dowolna liczba (dodatnia lub ujemna) podniesiona do parzystej potęgi będzie zawsze liczbą dodatnią.

    Przykłady:

    • $$(−3)^4 = 81$$
    • $$2^2 = 4$$
  • Liczba ujemna podniesiona do potęgi nieparzystej będzie zawsze liczba ujemną.

    Przykład:

    • $$(−2)^3 = (−8)$$

Działania na liczbach całkowitych

Jeżeli w wyrażeniu potęgowanie występuje z innym działaniami (z mnożeniem, dzieleniem, dodawaniem i odejmowaniem), to potęgowanie wykonujemy w pierwszej kolejności.

Pamiętajmy, że jeżeli w wyrażeniu pojawiają się nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nawiasach, zaczynając od tego znajdującego się najgłębiej (czyli nie posiadającego innych nawiasów). W nawiasach też obowiązuje zasada kolejności wykonywania działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. Działania w nawiasach
  2. Potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. Mnożenie i dzielenie
  4. Dodawanie i odejmowanie

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź liczbę x w równaniu $$5+x=3$$.

$$5 + x = 3$$ $$|-5$$ ← niewiadomą x zostawiamy na lewej stronie, a liczbę przenosimy na prawą
$$x = 3 − 5$$
$$x = −2$$

Odp.: Liczba x w tym równaniu wynosi $$-2$$.

Zadanie 2.

Podaj przykład liczby większej od -6 i mniejszej od 3.

Odp.: Liczba -4 jest większa od -6 i mniejsza od 3.

Zadanie 3.

Oblicz:

  1. $$ |10-2| $$
  2. $$ |-12-4| $$
  3. $$ |-7| $$
  1. $$ |10-2|=|8|=8 $$
  2. $$ |-12-4|=|-16|=16 $$
  3. $$ |-7|=7 $$

Zadanie 4.

Wykonaj obliczenia:

  1. $$ 5•(-9) $$
  2. $$ -7•(-3) $$
  3. $$ 3•(-4) $$
  1. $$ 5•(-9)=(-45) $$
  2. $$ -7•(-3)=21 $$
  3. $$ 3•(-4)=(-12) $$

Zadanie 5.

Zapisz w postaci potęgi:

  1. $$ (-6)•(-6)•(-6)•(-6) $$
  2. $$ 3•3•3 $$
  1. $$ (-6)•(-6)•(-6)•(-6)=(-6)^4 $$
  2. $$ 3•3•3=3^3 $$

Zadanie 6.

Oblicz: $$(-3)^2•2+5-6•2$$.

$$(-3)^2•2+5-6•2=3•3•2+5-12=18+5-12=23-12=11$$

Odp.: Wartość tego wyrażenia wynosi 11.

Komentarze