Funkcje - wstęp

Nie polecam pomijania tego działu, pytania o to czym jest funkcja pojawiają się na sprawdzianach, a także na maturze.

Na wielu zajęciach zapewne słyszeliście pojęcie funkcji, posługiwaliście się nimi, ale czy wiecie czym naprawdę ona jest? Kojarzy się nam głównie z wykresami i różnymi działaniami na nich.

Niestety nie każdy wykres jest funkcją.

Funkcja jest pewną relacją między dwoma zbiorami, a dokładniej przyporządkowaniem. Czyli każdy element zbioru X ma przyporządkowany jakiś element zbioru Y. Zbiór X nazywamy dziedziną, a zbiór Y zbiorem wartości. Wiem, brzmi skomplikowanie, ale funkcje często stosujemy w życiu. Każdy z nas ma swój pesel, jest tylko jeden dla każdego z nas i to jest już funkcja - przyporządkowanie zbiorowi osób zbioru peseli.

Zatem co nie jest funkcją?

Np. każdy z nas ma swoje imię, ale większość z nas ma drugie imię. Zatem relacja między zbiorem osób i zbiorem ich imion nie jest funkcją (ale relacja między zbiorem osób i zbiorem ich PIERWSZYCH imion jest już funkcją).
 

Uwaga!

Przyporządkowanie nie jest już funkcją, gdy chociaż jeden obiekt dostał dwa obiekty z innego zbioru!


Jak to działa w matematyce?
Najprościej, zazwyczaj sprowadza się to do jednego: Dla jednego x przypada tylko jeden y.

Należy pamiętać, że to nie działa odwrotnie, zatem do jednego y może być przyporządkowanych kilka x.

Weźmy np. tabelkę:

tab1

Czy określa ona funkcję?
Tak, ponieważ zawsze dla jednego x jest dokładnie jeden y. Zobaczmy następną:

tab2

A teraz?
Tak, to nadal jest funkcja - jak widzimy, dla każdego x jest dokładnie jeden (choć zawsze taki sam) y.
W matematyce taką funkcję nazywamy funkcją stałą.

No dobrze, do trzech razy sztuka. Zobaczmy kolejną:

tab3

x=y to funkcja, ponieważ każdy x dostał swojego y.
Kolejna tabelka:

tab4

Jak się domyślacie nie jest to funkcja - dlaczego?

Zobaczmy jeszcze raz:

tab5

Dla dwóch takich samych x mamy dwa różne y.

Funkcje często określają porządek w życiu. Pokażę teraz najprostszy przykład, dlaczego warunek na to, czy coś jest funkcją, działa tylko w jedną stronę (tzn jednemu y może odpowiadać wiele x, ale jednemu x odpowiada zawsze jeden y).
Zakładamy, że mierzymy średnią temperaturę w danym dniu:

tab6

Mogą być dwie takie same temperatury w dwóch różnych dniach, Nie może być dwóch innych średnich temperatur w tym samym dniu (patrz tabelka poniżej).

tab7
 

Wykres funkcji

Przejdźmy zatem do tego co nas zapewne czeka na sprawdzianach i na maturze. Sprawdzenie czy wykres jest funkcją.

Wykres jest funkcją kiedy dowolną pionową linię układu współrzędnych wykres przetnie tylko raz. Jak to najłatwiej zobaczyć? Za pomocą linijki!

Mamy taki oto wykres:

wyk1

Załóżmy, że gruby niebieski pasek będzie moją linijką. Zaczynamy od lewej skrajnej części układu:

wyk2

A następnie przesuwamy w prawą stronę patrząc czy nasz pasek jest gdzieś przecinany więcej niż raz równocześnie.

Pokażę tu kilka faz:

wyk3

Przecina tylko raz

wyk4

Tu też

wyk5

Koniec sprawdzania, wykres jest funkcją.

Weźmy inny wykres:

wyk11

Przesuńmy naszą „linijkę”:

wyk12 
Nadal przecina raz

wyk13

Jednak tutaj już dwa razy, nie jest to funkcja.
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Tabela przedstawia średnią ocen poszczególnych klas

zad-tab

Czy wykaz średnich jest funkcją?

Jest funkcją, ponieważ dla każdej klasy istnieje tylko jedna średnia ocen.

Zadanie 2.

Sprawdź, który z poniższych wykresów jest funkcją (możliwa więcej niż jedna odpowiedź):
A. wyk-zad21

B. wyk-zad22

C. wyk-zad23

D. wyk-zad24
 

 

  Sprawdźmy wykresy po kolei:

A. Od lewej do prawej nie ma przecięcia w dwóch miejscach, zatem wykres jest funkcją.

B. Tutaj już napotykamy konflikt, np. w tych miejscach:

roz1

Są 2 a czasem 3 przecięcia, wykres nie jest funkcją

C. Tutaj również nie ma konfliktu, wykres jest funkcją.

D. Tutaj jest bardzo podchwytliwy rysunek, on tylko z pozoru jest łatwy i uśmiechnięty. Tworząc małego wykresowego psychopatę zaznaczyłem miejsca podejrzane o konflikt:

roz2

Jednakże, mimo, że linia została przecięta dwa razy to musimy wziąć pod uwagę zakończenia linii, puste kółko oznacza, że punkt nie należy, zatem się nie liczy. Zatem linie zostały przecięte tylko raz. Wykres jest funkcją.

Komentarze