Funkcje

Funkcje to jeden z podstawowych działów matematyki. Ich dokładna definicja brzmi: funkcja to przyporządkowanie każdego elementu jednego zbioru dokładnie jednego elementu drugiego zbioru.

Zobacz narzędzie do rysowania wykresów

Na przykład weźmy trzy elementowy zbiór A i trzy elementowy zbiór B.

Poniższe dwa przyporządkowania są funkcjami:

img01

Poniższe przyporządkowanie NIE JEST funkcją:

img02

Jednak powyższe przyporządkowanie nie jest funkcją, bo zgodnie z definicją, funkcją jest takie przyporządkowanie, że każdemu elementowi pierwszego zbioru (w naszym przypadku A) jest przyporządkowany dokładnie jeden element drugiego zbioru.

Sposoby zapisywania funkcji

 

Weźmy dwa zbiory: X={1,2,3,4,5} i Y={3,5,7,9,11} i funkcję przyporządkowującą każdej liczbie zbioru X jej dwukrotność powiększoną o 1.

Sposoby zapisu tej funkcji:

Wykres

Rysując wykres nie wolno zapomnieć o podpisaniu osi x i y.

  1. Graf

    img03
  2. Tabela

    X 1 2 3 4 5
    Y 3 5 7 9 11
  3. Wzór

    $$ y=2x+1 $$ dla $$x={1,2,3,4,5}$$

    lub $$f(x)=2x+1$$ dla $$x={1,2,3,4,5}$$

    lub $$f:x→2x+1$$ dla $$x={1,2,3,4,5}$$
     

  4. Wykres

    img04

    Mając narysowany wykres możemy stwierdzić czy to, co narysowaliśmy jest funkcją przykładając pionowo ołówek do wykresu. Jeżeli przetnie on wykres w więcej niż jednym punkcie to znaczy, że to nie jest funkcja (bo danemu x-owi przyporządkowaliśmy więcej niż 1 y-ów)

Funkcja liniowa

 

Funkcja liniowa to taka, której wzór wygląda następująco:
$$y=ax+b$$ , gdzie a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi (niekoniecznie całkowitymi)

Przykłady funkcji liniowych:

  • $$ y=2x $$
  • $$ y=3x+1 $$
  • $$ y=-5x-3 $$
  • $$ y=6x-3 $$

Argument, dziedzina, wartość i zbiór wartości funkcji

 

W dziale funkcje występuje kilka ważnych pojęć dotyczących funkcji.

Weźmy funkcję $$y=2x+1$$ (gdy obok nie ma napisanego dla jakich x-ów jest funkcja oznacza, że dla wszystkich rzeczywistych).

Argument funkcji – każda wartość x znajdująca się na wykresie
Dla $$y=2x+1$$ argumentami są $$xϵR$$

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów. W naszej funkcji są to wszystkie x należące do zbioru liczb rzeczywistych.

Wartość funkcji to każdy y należący do wykresu. U nas wartościami funkcji są wszystkie y.

Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich y-ów. U nas zbiorem wartości funkcji są $$ yϵR $$.

Miejsce zerowe funkcji liniowej

 

Funkcja posiada miejsca zerowe tam, gdzie jej wykres przetnie oś x. Żeby znaleźć miejsce zerowe funkcji należy za y podstawić 0 (ponieważ w punktach,gdzie wykres przetnie oś x wartość y wynosi 0) i rozwiązać równanie.

Wzór ogólny na miejsce zerowe funkcji:

$$ax+b=0$$, czyli $$x=-b/a$$

Przykład:

  • Znajdźmy miejsce zerowe funkcji $$y=3x+1$$.

    $$3x+1=0$$

    $$ x=-1/3 $$ czyli funkcja $$y=3x+1$$ ma miejsce zerowe w punkcie $$(-{1}/{3},0)$$.

     

Położenie dwóch wykresów względem siebie

 

Dwa wykresy funkcji liniowych są do siebie równoległe, gdy wartości a są jednakowe.

Przykład

  • Wykresy funkcji $$y=2x+1$$ , $$y=2x-5$$ , $$y=2x+8$$ są do siebie równoległe.

Wykres funkcji $$y=ax+b$$ jest prostopadły do wykresu funkcji $$y=-1/a x+c $$,

Przykłady:

  • Wykres funkcji $$y=3x+2$$ jest prostopadły do wykresu funkcji $$ y=-1/3 x-1$$

  • Wykres funkcji $$y=3x+2$$ jest prostopadły do wykres funkcji $$ y=-1/3 x+3$$

Funkcja kwadratowa

 

Wzór ogólny $$y=ax^2+bx+c$$ gdzie a,b,c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

Przykłady:

  • Wykres funkcji $$f(x)=3x^2+2x+3$$

    img05
  • Wykres funkcji $$f(x)=-2x^2+x-1$$

    img06