Bryły obrotowe

Bryły obrotowe można uzyskać przez obrót wokół pewnej osi pewnych figur płaskich. Jeśli przykleimy wzdłuż na patyka prostokąt i zaczniemy obracać, stworzymy Walec. Jeśli będzie to trójkąt (odpowiednio umocowany) stworzymy Stożek. Jeśli koło, stworzymy Kulę.

Walec
Walec jest podobny do graniastosłupa, z tym, że jego podstawą jest koło, co za tym idzie powierzchnia boczna też jest zaokrąglona.

Przykładowy Walec:

walec
Podstawą walca może być tylko koło.

Obliczanie pola całkowitego walca
Pole Całkowite liczymy podobnym wzorem co graniastosłupy.
$$P_c=2P_p+P_b$$
Pole Podstawy ($$P_p$$) to zwyczajne pole koła, czyli:
$$P_p=πr^2$$
Gdyby rozciąć w którymś miejscu powierzchnię boczną i rozciągnąć, dostalibyśmy prostokąt, którego boki mają długości $$H$$ oraz $$2πr$$. Dlatego Pole Powierzchni Bocznej to:
$$P_b=2πrH$$

Objętość Walca:
Wzór jest taki sam jak w graniastosłupie, piszemy po prostu:
$$V=P_p×H$$

Przykład:
Oblicz wysokość walca jeśli Pole Powierzchni Całkowitej $$P_c=150πcm^2$$ , a Pole Podstawy wynosi $$P_p=25πcm^2$$. Tutaj akurat rysunek jest zbędny, aby wyznaczyć wysokość walca w tej sytuacji musimy mieć Pole Boczne i promień, ponieważ:
$$P_b=2πrH$$
A ze wzoru powyżej możemy wyliczyć wysokość.
Obliczmy promień z pola podstawy:
$$P_p=πr^2$$
$$25π=πr^2$$
$$r^2=25$$
$$r=5$$

Teraz jeszcze Pole Boczne, obliczmy je z wzoru na Pole Całkowite:
$$P_c=2P_p+P_b$$
$$150π=2×25π+P_b$$
$$P_b=150π-50π=100π$$

No to teraz:
$$P_b=2πrH$$

I podstawiamy:
$$100π=2π5H$$
$$100π=10πH$$ $$|:$$ $$π$$
$$10H=100$$ $$|:$$ $$10$$
$$H=10 cm$$


Stożek
Przypomina własnościami ostrosłup, z tym, że ma w podstawie koło. Dochodzą nam także dodatkowe pojęcia: tworząca oraz kąt rozwarcia stożka. Oznaczmy je na typowym stożku:

stozek

l - tworząca stożka
α - kąt rozwarcia stożka

Pole całkowite stożka:
Liczymy bardzo podobnie jak w ostrosłupie:
$$P_c=P_p+P_b$$
Pole Podstawy to oczywiście pole koła.
$$P_p=πr^2$$
Z kolei do pola powierzchni bocznej użyjemy tworzącej:
$$P_b=πrl$$


Objętość stożka:
Wzór identyczny jak w ostrosłupie
$$V=1/3 P_p×H$$
Tutaj należy ostrzec, że jeśli znów wystąpią kąty nachylenia, to, jak widać na typowym stożku, możemy śmiało stosować twierdzenie Pitagorasa:
$$r^2+H^2=l^2$$


Przykład:
Oblicz objętość stożka o promieniu $$r=√3 cm$$ i kącie nachylenia tworzącej do podstawy $$30°$$ Zaznaczmy tę sytuację na naszym stożku:

stozek2

Już możemy za pomocą wzoru na trójkąt 90,60,30 wyznaczyć H:

stozek3

Zatem:
$$H√3=√3 cm$$
Więc:
$$H=1 cm$$

Liczymy teraz objętość:
$$V=1/3 P_p×H$$
$$V=1/3×πr^2×H$$
No i podstawiamy:
$$V=1/3×π{(√3 cm)}^2×1 cm$$
$$V=1/3×π×3 cm^2×1 cm=π cm^3 $$

Kula
Powstaje po obrocie koła, mało się trafia zadań na kulę, wzory także na nią są w karcie wzorów, jednakże warto wiedzieć co nieco.
Typowa kula:

kula

r - promień

Pole Kuli:
Wzór ten już nie jest tak podobny, używa tylko promienia:
$$P_c=4πr^2$$

Objętość Kuli:
Również wzór znacznie się różni i nie jest aż tak łatwy do zapamiętania
$$V=4/3 πr^3$$

 

Uwaga!

- Wszystkie wzory użyte w tym dziale są na karcie wzorów maturalnych
- Zadania z tych działów mają na maturze nawet po 4-5pkt - warto je znać!
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $$π=3,14$$.

Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.

Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:

$$R=50 cm=0,5 m$$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.

Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)

Obw$$=2πr=2π×0,5=π$$

Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m

No to pozostało obliczyć ile obrotów

ilość obrotów$$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$$

Walec zrobi 318 pełnych obrotów

Zadanie 2.

Objętość stożka jest równa $$V=200π cm^3$$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm

Wzór na objętość:

$$V=1/3 P_p×H$$

Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy

$$P_p=πr^2=π5^2=25π$$

Teraz bez problemu obliczymy wysokość

$$V=1/3 P_p×H$$

Podmieniamy:

$$200π=1/3 25π×H$$ $$|×3$$

$$600π=25πH$$ $$|:25π$$

$$H=24$$

Nanieśmy wartości na rysunek:

rys1

No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:

$$5^2+{24}^2=l^2$$

$$l^2=25+576$$

$$l^2=601$$

No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie

$$l=√601$$

Zadanie 3.

Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?

Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:

tab1
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $$3r$$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $$3^3=27$$ razy większa.

Komentarze